抛物线的切线方程 抛物线切线方程求导法详解

2024年圆锥曲线切线公式推导与记忆技巧

一、椭圆切线公式的推导

• 圆切线公式基础：x0×x + y0×y = r^2，其中(x0，y0)是切点。

圆切线方程的解析

方法1. 运用向量法：

鉴于切线与过切点的圆半径垂直，故半径向量与切线向量的点积为0（向量内积=0）。

设半径向量为(x0，y0)，切线向量为(x-x0，y-y0)，代入上述关系得 x0×(x-x0) + y0×(y-y0) = 0，结合圆半径公式 x0^2 + y0^2 = r^2，化简后得到 x0×x + y0×y = r^2。

方法2. 使用斜率法：

鉴于切线与过切点的圆半径垂直，故半径斜率与切线斜率的乘积为-1。

计算半径斜率 y0/x0 与切线斜率 (y-y0)/(x-x0)，代入上述关系化简后同样得到 x0×x + y0×y = r^2。

二、椭圆切线公式的展示

椭圆切线方程的推导

从椭圆方程 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 开始，求导得到 y' = -(b^2/a^2) × (x/y)。在切点(x0，y0)的斜率为 y'(x0)。

切线方程为 (y-y0)/(x-x0) = -(b^2/a^2) × (x0/y0)，化简后得到 (x0×x)/a^2 + (y0×y)/b^2 = 1。

三、双曲线切线公式的推导概要

推导可参考椭圆切线公式，两者仅相差一个负号。

四、抛物线切线公式的推导

抛物线切线方程的解析

由抛物线方程 y^2 = 2px，求导得 y' = p/y。在(x0，y0)处的斜率为 y'(x0) = p/y0。

切线方程为 y-y0 = (p/y0) × (x-x0)，整理后得 y0×y = p(x+x0)。

五、公式记忆方法与技巧

在记忆椭圆与双曲线的切线方程时，注意到是把原方程中的变量二次项全部换成常数项（切点坐标）乘以变量就构成切线方程。如把 x^2 换成 x0×x，把 y^2 换成 y0×y。

对于抛物线，除了做同样的替换外，还需注意两倍的变量部分被替换为（变量+常数）的形式。

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