x轴y轴坐标图 幂函数图像

第五章 有理指数的幂函数

在前面的章节中，我们探讨了如y=x、y=x²、y=x³等形式的函数，这些函数的共同特点是它们的解析式都是用自变量的某一个幂来表示的，我们将这类函数统称为幂函数。

在代数的学习中，我们知道幂的指数不仅可以是自然数，还可以是负整数、零或正负分数。也就是说，幂的指数可以是一般的有理数。我们称形如y = x^r（其中r是有理数）的函数为有理指数的幂函数①。

这类函数的定义域、性质和图象会依据r的不同而有不同的表现。本章我们将深入研究一些较为简单和常见的幂函数。

§5.1 函数y=x³

让我们从一个实例开始。若一个立方体的棱长为L厘米，其体积V可以用公式V=L³来表示（见图5.1）。当L取任何正数值时，对于每一个L的值，V都有一个确定的值与之对应，因此V是自变量L的函数。

函数的定义域是全体正数，即0<L<+∞。现在我们来研究一般的自变量x的三次幂函数，即函数y=x³。

1. 函数y=x³的定义域

因为无论x取什么实数值，x³都有意义，所以函数y=x³的定义域是全体实数，即-∞<x<+∞。

2. 函数y=x³的图象

我们可以通过描点法近似地绘制出函数y=x³的图象（见图5.2），这个图象被称为三次抛物线或抛物挠线。从图象中我们可以观察到以下性质：

• 图象通过原点。
• 图象落在第一和第三象限里，且关于原点对称①。
• 图象从顶点起向右上方和左下方无限伸展。
• 图象是从左到右逐渐上升的。

①当一点P(x, y)关于原点对称时，其对称点P'(-x, -y)也位于图象上。

以上从图象中观察到的性质，也可以从函数y=x³的关系式中直接推导出来。

例如，当x=0时，y=0，因此其图象必定通过原点。再如，当自变量取两个互为相反的数值时，对应的函数值也是互为相反的数，因此图象关于原点对称。

对于更深入的研究和探讨，我们将在后续章节中展开。在此，我们还将通过练习来巩固对函数y=x³的理解和应用。