等腰三角形三线合一 三线合一的定理怎么用

2021年浙江杭州的中考数学题中，有一道关于圆的综合问题，展现出了相当的独特性。首题的设计充满创意，虽然题型并非全新，但在圆的背景下呈现出的列表法求函数解析式的情境，仍显得较为新颖。只要考生能够适应这种变化，这实际上就是一个送分题。而第二题则更具挑战性。

在△ABC内接于⊙O的图形中，点C位于劣弧AB上（不与点A，B重合），D为弦BC的中点，DE垂直于BC，其与AC的延长线交于点E。射线AO与射线EB交于点F，并与⊙O交于点G。设∠GAB=α，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ。

(1)点点同学的初步探究显示如下猜测，并给出了相关函数表达式的推测：β与α的函数关系，以及γ与α的函数关系。他们已经提供了大致的证路。

(2)已知γ=135°，当△ABE的面积是△ABC面积的四倍时，我们需要求出⊙O的半径长度。

解析：(1)猜测：β约等于α加90度，γ约等于180度减去α。其背后的推理如下：

连接CG，则有∠ACG为90度，且∠BCG等于∠GAB。虽然作辅助线后两图形相似，但为避免系统误判，具体细节将不在此处展示。

通过几何关系的推导，我们得出β约等于α加90度；

由于DE垂直于BC，CG垂直于AE，故∠BCG等于∠CED即α。这里运用了“两边互相垂直的两个锐角相等”的定理。虽然通过相似三角形的推导过程可能会较为繁琐，但前述定理的应用使解题过程更为简便。

由于D为BC的中点，所以∠BEC是∠CED的两倍，即2α。这一步运用了等腰三角形的“三线合一”性质。

进而得到γ约等于∠EAG加上∠EBA，也就是∠GAB加上∠BAE再减去α。

(2)当γ为135度时：α约为45度，从而β为135度。此时∠BEC为90度。

△BCE作为一个等腰直角三角形，其边BE与CE的长度可以通过CD的长度计算得出。

已知△ABE的面积是△ABC的四倍，由此可以推算出AE与AC的关系。

利用割线定理及其他几何关系，我们可以建立关于半径r的方程并求解。

整个解题过程不仅考察了学生对圆及相关几何图形的理解，还考验了他们的逻辑推理和问题解决能力。割线定理的应用为此题增添了更多趣味性。