等比数列的通项公式,等比数列求Sn的方法

重述1987年高考数学真题分享

各位爱好者！本篇将与你共同回顾1987年文史类数学试卷上一道令人难忘的第七题。虽然初次遇见可能会感到难以把握，但若我们把握解题方法，便可发现它的实际简单之处，仿佛在告诉我们，即使放在过去，许多高三学子亦能成为数学领域的佼佼者。

这道题目，主要涉及数列与极限的探讨。我们来看第一小题：已知数列的前n项和Sn与an之间的关系，需要求出数列的通项公式。

在高考数学的舞台上，面对数列的前n项和Sn，寻找通项公式通常有两种常见的考察形式。第一种是Sn=f(n)，而第二种则是Sn=f(an)。

对于第一种形式，当Sn表现为n的函数关系时，我们的解题思路通常是根据题目中给出的Sn的关系式，推导出S(n-1)，之后通过相减得出an与a(n-1)的关系，进一步推导出通项公式。具体的例子可以在相关教辅资料中找到。

在解题过程中，特别需要注意的是当n=1时的特殊情况，因为这往往涉及到首项的确定，处理不当容易导致答案出错。

而对于第二种形式，即Sn与an的函数关系，其解题思路则略有不同。在这种情况下，我们通常需要权衡保留Sn还是an，若选择保留an，则可得到两项之间的关系，再根据具体情况进行处理；若选择保留Sn，则可以得到Sn关于n的表达式，再按照之前的方法进行推导。

回到这道高考真题上，它显然属于第二种形式。我们可以先写出S(n+1)，再减去Sn，从而得到a(n+1)与an之间的关系。经过适当的变形，我们可以得到一个关于an的等比数列关系式。

在求解等比数列的通项公式时，首项和公比是关键。由于a1=S1，我们可以通过给定的条件求出首项a1的值，进而求得整个数列的通项公式。

接着看第二小题：求k的取值范围。当n趋向于无穷大时，我们需先根据等比数列的求和公式得到Sn的表达式。再根据极限值对表达式进行处理，从而得到一个关于k的不等式。在解这个不等式时，需要注意分式不等式的处理方法，不能简单地同时乘以k-1进行求解。而是需要进行分类讨论或者将分式化为整式进行求解。

除了上述方法外，还有其他途径可以求得k的取值范围。如将Sn=kan+1代入极限表达式中，再结合之前得到的an的通项公式进行化简等。