离散傅里叶变换,DTFT与DFT的变换公式

为了深入理解这个问题，让我们从连续周期函数的傅里叶级数谈起：

在上述的公式中，当周期函数进行正向的傅里叶级数展开时，其核心函数的指数并不带有负号，然而在计算傅里叶级数的系数时，负号则会出现。

在此叙述中，我们将时域内连续的周期函数转换为了时域内离散的周期序列。这里的T变成了N，而Fn在连续领域被称为傅里叶级数的系数，代表的是周期离散序列，并直接被称作傅里叶级数（DFS）。

换句话说，当从DFS转变到DFT时，离散时间序列x(n)由原本的周期性质转变为非周期性质（因为只取一个周期的片段）。必须明确的是，傅里叶级数始终与周期的概念相联系，而傅里叶变换则始终与非周期的概念相联系。当n趋向无穷大时，DFT将演变成为...

在理解了这些概念之后，离散傅里叶变换的计算过程就会显得更为简单明了。

对于任何序列的DTFT，其存在以下特性：

借助这一特性和傅里叶变换的频移特性，我们可以推导出：

这样，接下来的傅里叶计算过程就会相对容易许多。

DFT是在N有限时从DFS得到的，而DFS实际上就是周期函数的傅里叶级数系数。当N趋向于无穷大时，我们得到的是DTFT。