平方和公式推导,平方和的公式是怎么推出来的

对于自然数的平方和公式，我们皆有所闻，且通过数学归纳法可以轻易证明其正确性。关于其背后的推导过程，许多人都可能不甚了解。实际上，推导此公式的方法多种多样，现在让我们探究一下国外一位数学大神的独特思路，他居然借助了三角形的重心来进行推导，真是巧夺天工。

设想一下，在平面上排列着1+2+……+n个质量均为1的小球，它们以倒置的等边三角形阵列分布。为了便于计算，我们将最下方的小球置于坐标（0，1）处。

等边三角形阵列的构造

将整个三角形阵列视作一个整体，我们需考虑其重心的y坐标。这里有两种计算方法。

第一种方法，即采用平均坐标法来求解重心的位置。具体计算过程如下所述：

平均法求取重心位置

而第二种方法则是利用几何定理。我们知道，三角形的重心位于中线的交点上，且这个交点将每条中线等分为两段，比例为1：2。

重心位置恰好位于高度的三分之二处

考虑到整个三角形的高度为n-1，我们可以得出其重心的y坐标。

运用几何定理推导重心位置

令人惊讶的是，两种计算方法得出的结果完全一致。由此，我们得以推导出自然数的平方和公式。