连续的条件,函数连续性的定义

在高等数学的领域里，连续性及一致连续性的概念一直是学习的难点，特别是在探讨有限区间上的连续性时，其复杂性更是显而易见。闭区间上的连续函数因其有界性定理而自然地呈现出一致连续的特性，然而对于开区间，情况就变得较为复杂了。

那么，在有限区间上的一致连续性究竟需要哪些必要条件呢？答案是有界性。这一条件是连续函数在有限区间上具有一致连续性的关键所在。对于开区间上的连续函数，由于未必具有有界性，因此不一定具备一致连续性。

设I为一个有限区间。我们将证明：若函数f在I上一致连续，则它在I上有界。我们将通过实例来阐释当I为无限区间时，这一结论的失效。

有界性作为必要条件，意味着它是从一致连续性的结论中推导出来的。除了有界性外，连续性也是函数在有限区间上一致连续的必要条件。但在此我们主要探讨的是有界性这一方面。

证明过程：设区间的左右端点为a和b。由于f在I上一致连续，我们可以观察到以下情况：

对于任意的ε0（此处我们取ε0为1），存在一个正数δ小于(b-a)/2。当在I意两点x’和x”的距离小于δ时，有|f(x’)-f(x”)|小于1。

我们定义新的点a1为a与δ/2的和，b1为b减去δ/2。这样我们得到a小于a1小于b1小于b。

因为f在[a1，b1]这个闭区间上连续，所以我们知道f在这个区间上有界。设这个区间的最大值为M1，对应于x∈[a1，b1]。

当x位于[a，a1)且属于I时，由于x与a1之间的距离小于δ/2，根据一致连续性的定义，我们知道f(x)在x的邻域内有界。存在一个常数M2使得|f(x)|小于M2。

同样地，对于x位于(b1，b]且属于I的部分，我们也能够证明f(x)在这个子集上是有界的。

通过比较这些界值并取其最大值M作为整个区间I上的界，我们得到对所有x∈I都有|f(x)|≤M。这就意味着函数f在有限区间I上是有界的。

实例：函数y=x即使在实数集R上也是一致连续的，但它的极限lim(x→+∞)x=+∞表明它没有界。