行列式乘法,2个2阶矩阵乘法示意图

​矩阵乘法看似古怪繁琐的规则背后，蕴数学中深刻的含义与规律。下面我们将更详细地解释其背后逻辑与本质。

矩阵，简单来说，就是一个由数组成的矩形阵列。这些数通常被排列成m行n列的形式，并用括号括起来，表示它是一个独立的数学对象。矩阵的英文“matrix”一词源于拉丁语“”一词，被用来比喻矩阵是行列式的生成器。

从线性算子的角度看，矩阵乘法其实是对复合线性算子的一种表示。两个可以相乘的矩阵，其乘法的规则是基于线性算子的复合运算。这就好比两个函数可以连续作用在同一个对象上，而它们的复合函数就是通过一定的规则将它们串联起来。

当我们谈论矩阵的乘法时，我们实际上是在谈论两个线性算子之间的复合运算。这种复合运算在数学上有着重要的意义，因为它们可以描述更为复杂的系统或问题。在许多实际问题中，矩阵的乘法都可以找到对应的应用场景。比如，线性代数中重要的矩阵变换就是基于这种乘法的原理。

在中学我们学过函数的复合运算，而在数学中更一般的概念是线性算子的复合。这种复合运算满足结合律，即不管你如何组合这些运算，只要括号加对了，最后的结果总是相同的。矩阵乘法就体现了这一点。

举个简单的例子来说明这个原理：如果我们将两个函数（或者两个线性算子）看作是两个矩阵，那么这两个矩阵的乘积就代表了这两个函数的复合运算。这种复合运算可以通过矩阵的乘法规则来计算。同理，如果将一个向量看作是一个函数的作用结果（即该函数的输出），那么矩阵和向量的乘法就代表了该向量经过一系列线性变换后的结果。

我们还要明白，矩阵的乘法虽然看似复杂，但它的确是存在并且被广泛应用的。这种定义不是凭空产生的，而是基于对实际问题或现象的抽象和建模。我们不必为它的定义感到困惑或不解。相反，我们应该理解并掌握这种定义背后的逻辑和意义。

在学习和探索过程中，我们要记住一个重要的原则：不要仅仅关注计算的技巧和规则，而要理解其背后的原理和意义。只有这样，我们才能真正掌握并运用好矩阵乘法这一强大的数学工具。

希望这篇文章能帮助你更好地理解矩阵乘法的原理和意义。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时提问。

写于2023年6月1日星期三

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