矩阵的特征向量怎么求 λE–A求特征向量例子

线性代数相较于高等数学，在某种程度上更注重于矩阵的运算与性质理解。虽然矩阵中的特征值与特征向量的概念初看可能会有些复杂，但随着深入学习和练习，其逻辑和结构逐渐显露，吃力感便会减轻许多。要想真正掌握，仍需多加练习，熟能生巧。

特征值和特征向量的定义重述：对于一个n阶方阵A，若存在数λ和非零列向量x，使得Ax=λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于λ的特征向量。注意，λ可以为0，但x不能为0。

由上述定义可推导出：

-Ax=λx

-A=λE（E为单位矩阵）

因为单位矩阵E的对角线元素皆为1，且不可与方阵进行数值运算，故特征值乘以单位矩阵等于零矩阵。

∴(E-A)=0

若x为非零的列向量，则其行列式|E-A|即为特征值，记作根或特征根。

结论部分的理解与应用：

(1)若λ是A的特征值，x是对应的特征向量，则kλ也是Ax=kAx的特征向量（k为非零常数）。

证明过程见原内容。

(2)特征值可对应多个特征向量，但一个特征向量只能对应一个特征值。

通过反可证明此结论。

(3)若a是特征向量，b与a线性相关，则b+a也是特征向量。

证明见原内容。

以下附上几个求解特征值的例子图解，帮助理解与应用：

在求解过程中，应遵循一定思路和步骤，如先对E-A=0进行运算得到矩阵，再尽可能将某行/列转化为零并按行展开等。

对于复杂运算如求矩阵的特征值和对应的特征向量时，可能需要运用行简化阶梯形、上三角形矩阵、初等行变换、齐次线性方程组求解等知识点。这些知识点的学习和运用也是线性代数中的重要部分。

最后回顾特征值与特征向量的基本性质时，应着重理解互不相同的特征值对应的特征向量线性无关，方阵A的特征值都相异时其特征向量也线性无关等概念。