连续的条件 连续为什么不一定可导？

亲爱的读者们！久违了！我近期刚完成了论文的撰写和程序的调试，这段时间确实有些忙碌。一旦这些任务完成，我将能够更加轻松地继续为大家带来新的文章。

现在，让我们正式开始这个话题的探讨。

在数学的殿堂里，极限、连续、可微、可积等概念如同一把把利剑，贯穿了数学分析的始终。它们构成了数学分析的基石，其重要性不言而喻。今天，我们主要聚焦于前两个概念，即极限与连续。

在这里，我们将深入浅出地阐述一元微积分学的基本原理。下面的图解很好地展示了它们之间的关系。

一、极限

我们来谈谈极限的概念。

极限的概念是数学分析中的基石之一。最初，人们对于极限的理解并不清晰，只是说某个数越来越接近另一个数，但并没有明确的数学语言来描述这种接近。随着ε-δ语言的出现，数学的发展进入了新的纪元。

当我们面对一串数字时，如何判断它们最终都会趋近于一个特定的数字呢？这需要我们比较两个数字的大小。在数学中，我们通常通过作差来衡量两个数的大小关系。这里我们使用绝对值来衡量两个数的距离。ε就是一个衡量这个距离的标准。需要注意的是，这个标准并不是固定不变的，不同的人可能会有不同的看法。

为了更好地帮助大家理解，我们可以参考附图（虽然画得有点丑，但能说明问题）。从第N项开始，数列就进入了所谓的“带型区域”，即满足了某种条件。

满足ε的任意性是极限概念的关键所在。无论我们取多么小的ε，都能找到相应的N使得数列从第N项以后都满足这个标准。这确实是一个令人细思极恐的数学现象。也正是我认为ε-δ语言在数学中有着举足轻重的地位。

所以说，极限是一个动态的过程。给我一个ε，我就能给你一个N。这就是极限概念的基本含义。下面我给大家举一个简单的例子来说明这一点。

极限的概念为整个数学分析建立了语言基础。后面的连续、可微、可积等概念都离不开它。那么，刚刚提出的问题——何为极限？我会这样回答：它是一个衡量两个事物接近程度的动态过程。

二、连续

如果说连续就是不断的曲线，那虽然形象但并不严谨。我们还是需要从数学的角度来定义它。

与数列极限相似，连续也有其极限过程。我们使用 和→a 和 n→∞ 作为比较的标准，对于连续则是 和f(x)→ 和 x→ 。这就意味着我们需要两组比较的极限值和标准。对于数列极限来说，标准是ε和N；而对于连续来说，标准是ε和δ。

简单来说，只要函数在某个领域的δ范围内变化，其曲线就位于特定的带型区域内。

阿里嘎多！（日语：谢谢！）下期再见！